Устойчивость
Для каждого указанного пользователем загружения (или комбинации загружений) SCAD позволяет определить:
- коэффициент запаса устойчивости;
- первую форму потери устойчивости (без анализа кратности);
свободные длины стержневых элементов.
13.1 Постановка задачи
Задача устойчивости решается в классической постановке для упругой системы и в предположении, что все приложенные к системе внешние нагрузки (следовательно, и внутренние силы) растут пропорционально одному и тому же параметру l. То значение параметра l, при котором матрица жесткости системы А(l) впервые перестает быть положительно определенной, является критическим, а соответствующее значение l — коэффициентом запаса устойчивости (КЗУ). Матрица жесткости А(l) = Ao
- B(l) состоит из “обычной” матрицы жесткости Ao и матрицы “толкающих” реакций B(l), которые определяются сжимающими силами в стержнях, напряжениями сжатия в конечных элементах оболочечного типа и т.п. Напоминаем, что положительная определенность матрицы жесткости означает, что при любых значениях узловых перемещений и поворотов u потенциальная энергия системы положительна (это значит, что для деформирования системы необходимо затратить энергию и, следовательно, она оказывает сопротивление деформированию, она является отпорной).
Если система теряет устойчивость, она теряет отпорность и ее матрица жесткости становится вырожденной (с нулевым детерминантом), а в закритическом состоянии система получает отрицательную отпорность (при ее принудительном деформировании выделяется ранее накопленная потенциальная энергия “толкающих” реакций) и ее матрица жесткости становится знаконеопределенной.
Таким образом, задача оценки устойчивости равновесия сводится к проверке положительной определенности матрицы жесткости при пробном значении коэффициента l.
Необходимо отметить, что с помощью проверок матрицы жесткости можно отыскать только те критические состояния, при которых потеря устойчивости происходит по форме, когда узловые перемещения и повороты не все вместе равны нулю (это так называемая явная форма потери устойчивости). Нужно еще проверить, что при пробном значении l не может произойти так называемая скрытая форма потери устойчивости, которая реализуется в пределах одного конечного элемента и не вызывает узловых перемещений и поворотов. Поскольку для всех типов конечных элементов соответствующие критические величины lкр известны (они вычисляются по простым формулам), то это значит, что следует, кроме всего прочего, проверить неравенство l > lкр для всех конечных элементов.
