Спектры ответа

14.1 Расчет на сейсмические воздействия

Выведенный из положения равновесия линейный неконсервативный осциллятор совершает затухающие колебания, которые описываются дифференциальным уравнением

                                                                 (14.1)

где

                w – собственная круговая частота системы без затухания (рад/с);

                j – относительное демпфирование. При j < 1 решение уравнения (1) имеет вид

где

               

 – частота с учетом затухания,

                А, a – коэффициенты, которые зависят от начальных условий.

                Обычно для строительных конструкций j<<1 и практически

.

                Если на массу действует сила F(t), то ее перемещения описываются уравнением

                                                   (14.2)

общее решение которого при нулевых начальных условиях можно записать с помощью интеграла Дюамeля

                  (14.3)

                При движении основания с ускорением

 (кинематическое возмущение) на массу m действует переносная сила инерции . Поэтому уравнение, описывающее относительные перемещения массы в системе координат, связанной с основанием, имеет вид

,                                                        (14.4)

а его решение

                               (14.5)

                При определении абсолютного ускорения массы

 получаем при обычных малых значениях j, что

(14.6)

                Нами рассматриваются колебания линейных дискретных систем со многими степенями свободы, полученные из любых континуальных или комбинированных систем после применения к ним процедуры дискретизации метода конечных элементов (МКЭ). При этом решается система обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                                 (14.7)

где          {u} – вектор перемещений;

                [M] – матрица массы;

                [K] – матрица жесткости.

Вынужденные колебания линейной дискретной системы с затуханием по гипотезе Фойгта-Кельвина описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений

,                                            (14.8)

где          [C] – матрица диссипации энергии;

                {F(t)} – вектор нагрузки.

                В случае кинематического возмущения в качестве нагрузки выступают переносные силы инерции и система уравнений (14.8) записывается в виде

,                               (14.9)

где          {u} – вектор относительных перемещений (например, в системе координат xOy, связанной с основанием);

                {I} – вектор, компонентами которого являются косинусы углов между направлениями перемещений по координатам и вектором ускорения основания;

                - ускорение основания.

                Решение уравнения (14.9) отыскивается в виде разложения его по формам собственных колебаний системы (так называемая “модальная суперпозиция”)

,                                                                    (14.10)

где          n – число степеней свободы системы (учитываемых собственных чисел и векторов);

                 – j-я форма собственных свободных колебаний дискретной системы;

                 – неизвестные функции времени, которые необходимо определить.

                Будем предполагать, что для матрицы диссипации [С] выполняется условие



где wi – i-я собственная частота дискретной системы.

                После подстановки (14.10) в (14.9) и умножения (14.9) на вектор  для нахождения  получаем дифференциальное уравнение

,                                   (14.11)

где         

                Для определения инерционных нагрузок на конструкцию необходимо знать абсолютные ускорения ее точек:



             Сейсмические колебания дискретных систем описываются системами дифференциальных уравнений (8) с несколько более общим видом правой части:

,     (14.12)

где          и  – компоненты расчетной акселерограммы. Если какая-либо из компонент не учитывается, то соответствующая часть нагрузки из (14.12) исключается.


Содержание раздела

---

---